Losuffi's Blog

不动点迭代

1. 局部迭代

​ 如果存在临近区域 \( (r-\epsilon,r+\epsilon) $ 其中\)\epsilon > 0$ ，使得临近的区间中所有初始点估计都可以不动迭代到r，则该方法局部收敛到r。

不动点：如果一个函数\(g(x)\) 满足 \(g(x) = x\) 则称x为函数g的不动点。

不动点迭代：\(g(x_{0}) = x_1\) 将得到到的\(x_1\)继续代入函数g中得到\(x_2\) ，\(g(x_1) = x_2\)。如此迭代，直到达到不动点

• 假设函数g是连续可微的函数，\(g(r) = r, S=|g'(r)| < 1\)，则不动点迭代对于一个足够接近r的初始估计，以速度S线性收敛到不动点r。

​ 根据中值定理，在\(x_i\) 和\(r\)之间存在\(c_i\) 使得式子：\(x_{i+1} -r = g'(c_i)(x_i - r)\) 成立

如果\(S = |g'(r)| < 1\) ，则通过替换\(g'\) ,在\(r\) 附近一个足够小的区间满足 \(|g'(x)| < (S + 1)/2 $ ,这个值比\)S\(大一点，但仍然比1小。如果\)x_i\( 恰好出现在该区间，则\)ci\( 也在该区间（中值定理）因而\)e_{i+1} \leqslant \frac{S+1}{2}e_i\( 。所以误差以\)(S+1)/2$ 的速度下降，在后面的各步中也许会比该速度更好。 但是符合局部迭代的概念